Analisi e Implementazione delle tecniche di risoluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi

Tenni, M. (2004) Analisi e Implementazione delle tecniche di risoluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi. Masters thesis, University of Trento.

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Abstract

I metodi deterministici basati sull’aggiornamento di una appropriata funzione associata alle incognite (Level Set Methods) rappresentano una delle metodologie di risoluzione dei problemi inversi. Tali tecniche iterative considerano l’evoluzione di una regione, che rappresenta la soluzione di prova del problema, all’interno del dominio d’indagine. Tale regione correlata ad una funzione continua definita nello spazio di ricerca (ad esempio la minima distanza tra i punti del dominio d’indagine e il bordo della regione) che viene aggiornata per mezzo di un’equazione di Hamilton-Jacobi (HJ). In particolare, per mezzo di un problema aggiunto (che si basa sull'assunzione della presenza di sorgenti equivalenti irradianti un campo dato dalla differenza tra scatterato e misurato... ) si determina la velocita' di aggiornamento, una funzione data dalle componenti normali alla superficie del Level Set. Successivamente, il Level Set all'istante temporale successivo si calcola risolvendo la versione numerica dell'equazione di HJ. Tale equazione differenziale permette di trovare la perturbazione correlata alla velocita', che viene sommata al Level Set dell'istante precedente. La soluzione numerica del problema inverso avviene attraverso una discretizzazione, in accordo con il metodo dei momenti (MoM?). Di conseguenza, l'equazione di HJ va risolta utilizzando le differenze finite. Tuttavia, mentre nello spazio tali differenze finite sono vincolate al MoM?, nel tempo e' necessario scegliere un time-step per implementare la rispettiva differenza finita. Tale parametro puo' essere scelto solo euristicamente, anche se esistono alcuni criteri che considerano una dipendenza dalla discretizzazione spaziale. L'obiettivo della tesi e' quello di studiare il problema della soluzione numerica dell'equazione di HJ, cercare/mettere a punto una tecnica di tipo un-supervised e quindi validarla.

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